로또 6/45 당첨 확률, 숫자로 정확하게 이해하기

1. 전체 경우의 수: 8,145,060은 어디서 나올까

로또 6/45는 1부터 45까지의 숫자 중 서로 다른 6개를 고르는 게임입니다. 고르는 순서는 상관없습니다. 3, 7, 12를 고르든 12, 3, 7을 고르든 같은 조합으로 봅니다. 이렇게 순서 없이 뽑는 경우의 수를 수학에서는 조합(combination)이라고 하고, 45개 중 6개를 고르는 조합은 C(45, 6)으로 씁니다.

계산은 두 단계로 생각하면 쉽습니다. 먼저 순서를 따져 한 개씩 뽑는다고 하면, 첫 번째 공은 45가지, 두 번째는 44가지, … 여섯 번째는 40가지이므로 45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40 = 5,864,443,200가지입니다. 그런데 같은 6개 숫자가 뽑히는 순서만 다른 경우가 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720가지씩 중복되어 있으니, 720으로 나눠 줍니다.

C(45, 6) = (45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
         = 5,864,443,200 ÷ 720
         = 8,145,060

즉 로또 한 게임으로 고를 수 있는 번호 조합은 모두 8,145,060가지이고, 그중 추첨된 6개와 완전히 같은 조합은 단 하나뿐입니다. 그래서 1등 확률이 8,145,060분의 1이 됩니다.

2. 1등부터 5등까지 정확한 확률

로또 6/45는 당첨 번호 6개와 보너스 번호 1개, 총 7개를 추첨합니다. 내가 고른 6개 중 몇 개가 당첨 번호와 일치하는지에 따라 등수가 정해지고, 보너스 번호는 2등을 가를 때만 쓰입니다. 각 등수에 해당하는 조합의 수를 세어 전체 8,145,060으로 나누면 확률이 나옵니다.

• 1등: 6개 모두 일치. 해당 조합은 1개입니다.
• 2등: 당첨 번호 5개 + 보너스 번호 일치. 당첨 번호 6개 중 5개를 고르는 방법 6가지 × 보너스 번호 1가지 = 6개입니다.
• 3등: 당첨 번호 5개 일치(나머지 1개는 보너스가 아닌 번호). 6가지 × (당첨 번호와 보너스를 뺀 38개) = 228개입니다.
• 4등: 당첨 번호 4개 일치. 당첨 번호 중 4개를 고르는 15가지 × 나머지 39개 중 2개를 고르는 741가지 = 11,115개입니다.
• 5등: 당첨 번호 3개 일치. 당첨 번호 중 3개를 고르는 20가지 × 나머지 39개 중 3개를 고르는 9,139가지 = 182,780개입니다.

표의 맨 아래 줄이 흥미롭습니다. 5등까지 포함해도 한 게임이 무엇이든 당첨될 확률은 약 2.4%, 대략 42게임에 한 번꼴입니다. 반대로 말하면 한 게임을 샀을 때 아무것도 당첨되지 않을 확률이 약 97.6%입니다.

3. 814만 분의 1을 실감해 보기

큰 숫자는 머리로는 알아도 감이 잘 오지 않습니다. 몇 가지 방법으로 크기를 느껴 보겠습니다.

• 매주 한 게임씩 산다면: 1등을 한 번 기대하려면 평균 8,145,060주, 약 15만 6천 년이 걸립니다.
• 매주 5게임(5,000원)씩 산다면: 평균 1,629,012주, 약 3만 1천 년입니다.
• 평생 도전한다면: 매주 한 게임씩 50년(2,600주) 동안 사도 1등에 한 번이라도 당첨될 확률은 약 0.032%, 즉 3,100명 중 1명 정도입니다.
• 모든 조합을 산다면: 8,145,060게임 × 1,000원 = 약 81억 4,506만 원이 필요합니다. 게다가 한 회차 구매 한도가 있어 현실적으로 불가능합니다.

4. 여러 게임을 사면 얼마나 달라질까

서로 다른 번호로 여러 게임을 사면 당첨 확률은 게임 수만큼 정확히 늘어납니다. 5게임이면 1등 확률이 5 / 8,145,060, 즉 약 162만 9천 분의 1이 됩니다. 확률이 다섯 배가 된 것은 맞지만, 여전히 매우 작은 숫자라는 점은 변하지 않습니다.

주의할 점은 같은 번호를 여러 장 사는 것입니다. 같은 조합을 두 번 사면 당첨될 때 당첨금을 두 몫 받지만, 당첨 확률 자체는 한 장일 때와 같습니다. 확률을 높이려면 서로 다른 조합을 사야 합니다.

오른쪽 열은 각 게임이 서로 영향을 주지 않는다고 보고 "적어도 한 게임은 5등 이상"일 확률을 근사한 값입니다. 10만 원어치(100게임)를 사면 5등 한 번쯤은 거의 당첨되지만, 5등 당첨금은 5,000원이라 투자한 금액을 되찾기는 어렵습니다. 이 차이는 다음 절의 기대값에서 분명하게 드러납니다.

5. 기대값: 1,000원을 쓰면 평균 얼마가 돌아올까

기대값은 "같은 선택을 아주 많이 반복했을 때 한 번에 평균적으로 얻는 금액"입니다. 각 등수의 당첨금에 그 등수의 확률을 곱해 모두 더하면 됩니다.

로또 6/45의 4등과 5등은 당첨금이 정해져 있습니다. 4등은 50,000원, 5등은 5,000원입니다. 이 두 등수만 계산해 보면 다음과 같습니다.

4등: 50,000원 × (11,115 / 8,145,060) ≈ 68.2원
5등:  5,000원 × (182,780 / 8,145,060) ≈ 112.2원
합계 ≈ 180.4원

즉 1,000원짜리 한 게임에서 4·5등으로 평균 약 180원이 돌아옵니다. 1~3등 당첨금은 매 회차 판매액과 당첨자 수에 따라 달라지는데, 로또 6/45는 판매액의 약 절반을 당첨금으로 나눠 주는 구조입니다. 따라서 장기적으로 보면 1,000원을 쓸 때 당첨금으로 돌아오는 금액은 평균 500원 안팎이고, 여기서 세금까지 떼면 더 줄어듭니다. 나머지는 복권기금으로 쓰여 여러 공익사업에 사용됩니다.

기대값이 구매 금액보다 낮다는 것은 로또가 "평균적으로 돈을 불리는 수단"이 아니라는 뜻입니다. 로또의 가치는 수익이 아니라, 적은 돈으로 추첨을 기다리는 설렘을 사는 데 있다고 보는 편이 정확합니다.

6. 당첨금과 세금

복권 당첨금은 기타소득으로 분류되어 세금을 뗀 뒤 지급됩니다. 2026년 기준 일반적인 기준은 다음과 같습니다. 세법은 바뀔 수 있으므로 실제 수령 전에는 동행복권이나 국세청 안내를 꼭 확인하세요.

• 200만 원 이하: 비과세. 4등(5만 원)과 5등(5,000원)은 세금 없이 그대로 받습니다.
• 200만 원 초과 ~ 3억 원 이하: 소득세 20% + 지방소득세 2% = 22%.
• 3억 원 초과분: 소득세 30% + 지방소득세 3% = 33%.

예를 들어 1등 당첨금이 20억 원이라면 3억 원까지는 22%, 나머지 17억 원에는 33%가 적용되어 세금이 약 6억 2,700만 원, 실수령액은 약 13억 7,300만 원이 됩니다. 뉴스에 나오는 당첨금과 실제 받는 금액 사이에는 이만큼 차이가 있습니다.

7. 정리

• 로또 6/45의 전체 조합은 C(45, 6) = 8,145,060가지이고, 1등은 그중 단 하나입니다.
• 2등은 1,357,510분의 1, 3등은 약 35,724분의 1, 4등은 약 733분의 1, 5등은 약 45분의 1입니다.
• 무엇이든 당첨될 확률은 한 게임에 약 2.4%입니다.
• 서로 다른 조합을 여러 개 사면 확률은 게임 수만큼 늘지만, 여전히 매우 낮습니다.
• 기대값은 구매 금액보다 낮으므로, 로또는 부담 없는 금액으로 재미 삼아 즐기는 것이 바람직합니다.

번호를 직접 고르기 어렵다면 럭키랩의 로또 번호 추첨기로 공정하게 무작위 번호를 뽑아 보세요. 추첨기가 번호를 뽑는 원리는 컴퓨터는 어떻게 무작위 번호를 뽑을까?에서 설명합니다.